Πνευματική γυμναστική: Ασκήσεις υπερβολής

Την προηγούμενη Κυριακή πήραμε μια γεύση για τις απαιτήσεις στα Μαθηματικά σε χώρες όπως η Κίνα και η Σιγκαπούρη, που φημίζονται για το πόσο απαιτητικά είναι τα προγράμματά τους. Και πριν θελήσουμε να θεωρήσουμε αυτές τις δύο χώρες ως απλά εξαιρέσεις ας έχουμε υπόψη μας πως και σε μια άλλη χώρα της μακρινής Ανατολής, στο Ιράν, οι μαθητές, ιδιαίτερα στις μεγάλες πόλεις, δεν καλοπερνούν. Φεύγουν το πρωί από το σπίτι τους και γυρίζουν όταν πλέον έχει πέσει το βράδυ. Εννοείται πως οι πολλές ώρες στην τάξη και τα πολύ δύσκολα Μαθηματικά δεν είναι πάντα το κλειδί της επιτυχίας. Σημασία έχει το τι έχεις αποφασίσει να κάνουν οι μαθητές στις ώρες της παραμονής τους στο σχολείο. Διότι έχουμε και χώρες όπως η Δανία, που επιτρέπουν και μία ημέρα να μην πατήσει ο μαθητής στην τάξη, αρκεί όμως να ασχοληθεί με μια προκαθορισμένη εργασία.

Ασκηση για γερούς λύτες

Σίγουρα πάντως, οτιδήποτε από τα παραπάνω δεν γίνεται στο ελληνικό σχολείο. Σίγουρα θα είχε ενδιαφέρον να βλέπαμε σε ποια τάξη θα μπορούσαν να απαντήσουν στα προβλήματα που παρουσιάσαμε την προηγούμενη εβδομάδα. Λόγω έλλειψης χώρου όμως, σήμερα θα ασχοληθούμε μόνον με τη λύση του παράλογα δύσκολου προβλήματος που λέγεται ότι δόθηκε σε σχολείο του Καναδά, για παιδιά πάντως με ιδιαίτερα καλές επιδόσεις. Θυμίζουμε πως τους έδιναν δύο στήλες, όπου είχαν στη μία τους αριθμούς 1, 2, 3 και στην άλλη αντίστοιχα απέναντι σε αυτούς βρίσκονταν οι αριθμοί 5, 10, 55. Ζητήθηκε να βρεθεί, αν μετά τον 3 στην πρώτη στήλη είναι ο 10 ποιος θα ήταν ο αντίστοιχός του στη δεύτερη στήλη.

Κατ’ αρχάς, ο ερωτώμενος θα έπρεπε να συνειδητοποιήσει πως πρόκειται για συντεταγμένες σε ορθογώνιους άξονες: (1, 5), (2, 10), (3, 55), (10, ;). Στη συνέχεια, και αν δεν πρόκειται για λάθος αλλά είναι πράγματι 55 και όχι 5, υποθέτουμε πως επειδή δεν βρίσκονται σε ευθεία μπορεί να είναι σημεία μιας δευτεροβάθμιας συνάρτησης της μορφής: f(x) = ax2bxc. Για τα τρία σημεία που γνωρίζουμε θα ισχύει :

f(1) = 5 = abc,

f(2) = 10 = 4a+ 2bc,

f(3) = 55 = 9a+ 3bc,

άρα οι f(2) –f(1) και f(3) –f(2) θα δώσουν 10 – 5 = 3abκαι 55 – 10 = 5ab,

οπότε η f(3) –f(2) – (f(2) –f(1)) δίνει: 55 – 10 – (10 – 5) =  5ab – (3ab) άρα 40 = 2a ή a= 20.

Από αυτό προκύπτει 3(20) + b= 5 ή b= -55.

Η f(1) = 5 = abc δίνει c= 40.

Από την f(x) = ax2bxc παίρνουμε  f(x) = 20x2– 55x+ 40 και για x= 10

f(10) = 20(10)2– 55(10) + 40 ή f(10) = 1490.

Αρα το επόμενο ζευγάρι είναι το (10, 1490)!

Πνευματική Γυμναστική

Α) Εχουμε δύο δεσμίδες με χαρτιά της τράπουλας. Η μία είναι πλήρης (χωρίς τζόκερ), 52 φύλλα, και η άλλη είναι η μισή, 26 φύλλα και ας πούμε πως έχει μόνον τα σπαθιά και τις κούπες. Είναι και οι δύο ανακατεμένες προσεκτικά και πολύ καλά. Πρέπει να διαλέξεις τη μία από τις δύο δεσμίδες και να τραβήξεις δύο φύλλα. Κερδίζεις αν και τα δύο είναι του ιδίου χρώματος (κόκκινο ή μαύρο). Ποια από τις δύο συμφέρει να επιλέξεις;

Β) Αν υποθέσουμε πως υπήρχε και μια τρίτη δεσμίδα με 26 φύλλα που πάρθηκαν εντελώς τυχαία από μιαν άλλη των 52 φύλλων, τώρα ποια δεσμίδα θα ήταν η καλύτερη επιλογή;

Οι απαντήσεις των προηγούμενων κουίζ

1. Αν γράψουμε όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 1 εκατομμύριο, ζητούσαμε να υπολογιστεί πόσες φορές θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσουμε τον αριθμό 2. Αρχίζουμε απλά και απαλά. Από το 1 έως το 10 μία φορά, από το 1 έως το 100 έχουμε κάθε δέκατο ψηφίο μέχρι το 92, δηλαδή 2, 12, 22, 32… άρα 10 και άλλα 10 για τους αριθμούς από το 20 έως το 29, άρα συνολικά 20, δηλαδή το (1/10) για τους αριθμούς από το 1 έως το 100, δηλαδή για αριθμούς που πιάνουν δύο στήλες όταν μπουν τα ψηφία τους το ένα κάτω από το άλλο. Αν λοιπόν γράψουμε όλους τους αριθμούς από το 1 έως το 999999, τον έναν κάτω από τον άλλον (βάζοντας μπροστά μηδενικά για να συμπληρωθούν όλες οι στήλες, π.χ. 000001, 000002,…, 222222,…, 999999,1.000 000) θα έχουμε έξι στήλες με 6 εκατομμύρια ψηφία. Και από αυτά το (1/10) θα είναι το ψηφίο 2, άρα 600.000 συνολικά.

2. Είχαμε ότι σε ένα χωριό κατοικούν 100 ζευγάρια (50 άνδρες με αντίστοιχα 50 γυναίκες) και μόνον αυτά αλλά κάποιοι από τους άνδρες απατούν τις γυναίκες τους χωρίς εκείνες να το γνωρίζουν. Ολες οι γυναίκες γνωρίζουν για όλους τους άνδρες, εκτός από τον δικό τους, αν απατούν ή όχι το ταίρι τους. Αν όμως μια γυναίκα διαπιστώσει με κάποιον τρόπο ότι ο άνδρας της την απατά τον πετάει έξω από το σπίτι στη μέση της νύχτας. Οι άνδρες πάντως ακόμη και αν γνωρίζουν δεν αποκαλύπτουν ποιος απατά ποια. Μια μέρα ο δήμαρχος του χωριού αναγγέλλει, και το μαθαίνουν όλοι, ότι υπάρχει τουλάχιστον 1 άνδρας που κάνει απιστίες. Μετά την αναγγελία κανείς δεν μιλάει περιμένοντας κάποιος άνδρας να πεταχτεί έξω από το σπίτι. Μέχρι που πέρασαν 9 νύχτες από την αναγγελία. Τη 10η όμως βρέθηκαν στον δρόμο παραπάνω από ένας ταυτόχρονα. Πόσοι ήταν αυτοί άραγε; Αρχίζουμε από τον έναν μόνον σύζυγο που απατά την συμβία του. Τότε 99 γυναίκες το γνωρίζουν αυτό και μόνον μία, η σύζυγός του, είναι αυτή που το αγνοεί. Εκείνη όμως ξέρει τι συμβαίνει με τους υπόλοιπους άνδρες και ότι επομένως όλοι οι άνδρες εκτός από τον δικό της (που αγνοεί τι κάνει) είναι «εντάξει». Από τη στιγμή όμως που ο δήμαρχος ανακοίνωσε πως υπάρχει τουλάχιστον ένας σύζυγος ένοχος απιστίας καταλαβαίνει πως ο δικός της είναι για αποπομπή. Και το κάνει ήδη αμέσως μετά την ανακοίνωση. Αν ήταν δύο οι σύζυγοι που δεν συμπεριφέρονται εντάξει; Τότε δύο γυναίκες δεν γνωρίζουν τι συμβαίνει με τους δικούς τους συζύγους αλλά μετά την ανακοίνωση του δημάρχου σχηματίζουν την εντύπωση πως υπάρχει ένας που απατά (και μάλιστα η καθεμία ξέρει ότι θα είναι ο σύζυγος της άλλης, χωρίς αυτό να έχει σημασία). Γι’ αυτό δεν αντιδρούν την πρώτη ημέρα. Αλλά όταν παρατηρούν πως την πρώτη ημέρα κανένας άλλος δεν εκδιώχθηκε καταλαβαίνουν πως ο δικός τους είναι μέσα στους ενόχους και τους εκπαραθυρώνουν και τους δύο τη δεύτερη ημέρα. Συνεχίζοντας έτσι καταλαβαίνουμε (επαγωγικά) πως αν δεν έγινε κάτι τις προηγούμενες εννέα ημέρες, τη δέκατη θα πετάχτηκαν διαμιάς δέκα άνδρες στο νυχτερινό κρύο.

Έντυπη έκδοση Το Βήμα