«Βουτιά» στην Τοπολογία

Ο στόχος είναι τελειώνοντας την ανάγνωση αυτού του μικρού κειμένου να μπορούμε να απαντήσουμε στην ερώτηση ποιο είναι το σχήμα ενός περιδέραιου (άλλοι προτιμούν να λένε το περιδέραιο και κολιέ).

Ξεκινώ με την υποθετική και ευπρόσδεκτη ερώτηση «ποια δουλειά θα θέλατε να κάνετε αυτή τη στιγμή;». Θα μου την έκανε ένας μάλλον φανταστικός συνομιλητής μου. Και επειδή είναι αρχή της σχολικής χρονιάς, χωρίς πολλή σκέψη, του απαντώ ότι θα ήθελα να έχω γύρω μου μια ομάδα μικρών παιδιών από οποιεσδήποτε τάξεις του Δημοτικού και να τους κάνω Μαθηματικά. Στην επόμενη ερώτηση, που θα είχε να κάνει με την «ύλη», θα απαντούσα ως εξής: Πριν φθάσουμε με κάποιον ιδιαίτερο βέβαια τρόπο στα σχετικά με τα σύνολα και τους πληθικούς τους αριθμούς και χωρίς ακόμη να τους έχω δείξει καν τα αριθμητικά σύμβολα, 1, 2, 3,… θα τους μιλούσα για πράγματα που ασχολείται μαζί τους η τοπολογία. Για πολλαπλότητες, μονοδιάστατες και πολυδιάστατες, τόρους και ευκλείδειους χώρους, μυρμήγκια και διαστάσεις.

Η αριθμητική αλλιώς

Ναι, μήπως ο δάσκαλος τρελάθηκε και προσπαθεί να (ξε)τρελάνει και τα παιδιά του; Ή μήπως να τα ενθουσιάσει και να τα πείσει από την αρχή πως κάτι ενδιαφέρον υπάρχει σε ό,τι (κακώς) λέγεται (μόνον) «αριθμητική»; Για να μη μετουσιωθεί  η πρώτη τους γνωριμία με αυτήν σε πικρή εμπειρία. Γι’ αυτό θα μιλήσουμε πρώτα για το πώς αντιμετωπίζουμε ένα σχήμα. Με υλικά ευλύγιστα, μαλακά, ελαστικά, φουσκωμένες σαμπρέλες ποδηλάτου ίσως, μεγάλες επιφάνειες χαρτιού, λαστιχάκια μικρά των πακέτων αλλά και μεγάλα της γυμναστικής είναι ευπρόσδεκτα. Σύρματα, βραχιολάκια με χάντρες περασμένες σε ελαστικό νήμα και περιδέραια, με όλα αυτά θα γίνει η δουλειά. Ποια δουλειά; Να αρχίσουν να βλέπουν τα σχήματα με τον τρόπο που τα βλέπουν οι μαθηματικοί.

Δίνουμε μαρκαδόρους ενός χρώματος στο κάθε παιδί και το καθένα κάνει μια δική του διαδρομή επάνω στο απέραντο απλωμένο χαρτί. Μια διαδρομή αυθαίρετη, με μοναδικό όρο να μη σηκωθεί  η μύτη του μαρκαδόρου από το χαρτί.

Στη συνέχεια παρατηρούμε τα σχήματα που έχουν προκύψει και προσπαθούμε να τα βάλουμε σε κατηγορίες. Εκεί αρχίζουν τα μάτια να συνεργάζονται με τη φαντασία. Μπαίνουν σε άλλη κατηγορία όσων τα περιγράμματα συστρέφονται και οι γραμμές τους διασταυρώνονται μεταξύ τους. Οπως ένα οχτάρι ή μια σπείρα. Απροσδόκητα βρίσκονται μαζί στο ίδιο «κλουβί» ένα τρίγωνο, ένα τετράγωνο, ένα παραλληλόγραμμο, ένας κύκλος, αλλά ακόμη χωρίς την αυστηρότητα της γεωμετρίας.

Στη χώρα της Τοπολογίας

Μετά την πρώτη έκπληξη εξηγούμε: Υπάρχει ένα κράτος που λέγεται Τοπολογία και το κυβερνούν μόνοι τους οι μαθηματικοί. Εκεί δύο «σχήματα» τα θεωρούν ίδια αν μόνο με τέντωμα ή πίεση (κανένα κόψιμο ή κόλλημα άκρων) να μπορεί το ένα να μοιάσει στο άλλο. Ενα λαστιχένιο τετράγωνο θα θεωρούμε πως γίνεται και τρίγωνο ή κύκλος. Κάτι στο σχήμα του αβγού (μια έλλειψη στην ουσία) που γίνεται και τετράγωνο. Το γράμμα Ο, η πίστα του στίβου, το γήπεδο του ποδοσφαίρου στην ίδια κατηγορία. Αν σε κάποιο σημείο «φυτρώνουν» περισσότερα από δύο κλαδιά, όπως στα οχτάρια, στα σχήματα με θηλιές, στο γράμμα Θ, θα  πάνε αλλού.

Μια ερώτηση για την επόμενη φορά: Πόσες κατηγορίες τελικά μπορούν να προκύψουν; Και μια απάντηση  στην ερώτηση ποιο είναι το σχήμα ενός περιδέραιου (=κολιέ); Ελπίζω να έγινε κατανοητό αυτό τουλάχιστον: πως το σχήμα του μπορεί να είναι οτιδήποτε από τα παραπάνω, τετράγωνο, κύκλος, τρίγωνο, πολύγωνο. Το περνούμε στα δάχτυλά μας και επειδή μάθαμε τώρα πώς σκέπτονται στο κράτος της Τοπολογίας βλέπουμε τα πράγματα με άλλο μάτι. Επειδή όμως χτύπησε το κουδούνι, θα συνεχίσουμε μετά το διάλειμμα.

Πνευματική Γυμναστική

  1. Σε μια παρέα ο Α και η Β καλούνται να τραβήξουν από ένα φύλλο της τράπουλας (που δεν περιέχει τζόκερ). Δεν πρέπει να το γυρίσουν και να το δουν αλλά μόνο να το κρατήσουν ψηλά έτσι ώστε ο άλλος του ζευγαριού να μπορεί να το δει. Στη συνέχεια καλούνται να γράψουν ο καθένας τους τι χρώμα νομίζουν ότι έχει το χαρτί που κρατούν (μαύρο ή κόκκινο). Κερδίζουν αν ο ένας τουλάχιστον από τους δύο μαντέψει το σωστό χρώμα του χαρτιού που κρατάει. Απαγορεύονται τα νοήματα και οι κινήσεις χειλιών και ματιών. Πριν όμως ξεκινήσουν να τραβήξουν φύλλο τούς επιτρέπεται μια ολιγόλεπτη συνεννόηση. Τι θα μπορούσαν να συμφωνήσουν ώστε να κερδίσουν σίγουρα;
  2. Ο οικοδεσπότης στη συνέχεια σκέφθηκε να τους βάλει κάτι ακόμη πιο δύσκολο. Με τέσσερα άτομα τώρα. Το καθένα να τραβήξει ένα χαρτί και χωρίς να το δει να το κρατήσει έτσι ώστε να το βλέπουν οι άλλοι τρεις. Στη συνέχεια θα πρέπει κάποιος από όλους να μαντέψει σωστά αν το δικό του χαρτί είναι Μπαστούνι, Σπαθί, Καρό ή Κούπα. Ποια συνεννόηση πρέπει να κάνουν τώρα;

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

  1. Για την ταυτότητα (α + β )2 = α2 + 2αβ + β2 ζητούσαμε να μας υποδειχθεί κάποιος τρόπος που να αποδεικνύει πειστικά και οπτικά (στον πίνακα ή σε ένα φύλλο χαρτί) ότι ισχύει. Ενας τρόπος είναι να δώσουμε στα παιδιά χαρτόνια και να φτιάξουν πρώτα ένα τετράγωνο με πλευρά (α+β) όπου ας υποθέσουμε ότι α>β (αν α=β έχουμε μια «τετριμμένη» περίπτωση, δηλαδή χωρίς ενδιαφέρον: 4α2 = 4α2). Η επιφάνειά του (τους λέμε ότι ονομάζεται και εμβαδόν, αν και για εκείνα είναι μια εντελώς ακατάληπτη λέξη, άρα καλύτερο είναι να τους το αναφέρουμε κάθε τόσο και ως «επιφάνεια») είναι ίση με (α + β)2. Μέσα σε αυτό το τετράγωνο ζωγραφίζουμε ένα με πλευρά α. Η υπόλοιπη επιφάνεια αποτελείται πλέον από δύο ορθογώνια παραλληλόγραμμα με πλευρές β και (α+β). Μόνο που πρέπει να αφαιρέσουμε από αυτά ένα μικρότερο τετράγωνο στη μια γωνία με πλευρά β γιατί υπάρχει αλληλοεπικάλυψη. Οπότε η όλη επιφάνεια καλύπτεται ως εξής: α 2 + 2β(α + β) –β2 = α2 + 2βα + 2ββ – β2 = α2 + 2αβ + 2β2 – β2 = α2 + 2αβ + β2.
  2. Στην επιφάνεια μιας σφαίρας διαλέγουμε πέντε τυχαία σημεία. Ζητήσαμε να δειχθεί ότι θα υπάρχει πάντα ένα ημισφαίριο που επάνω του θα βρίσκονται τουλάχιστον τα τέσσερα από τα πέντε σημεία. Επιλέγουμε στην τύχη δύο από τα σημεία και είναι γνωστό πως από αυτά μπορεί πάντα να βρεθεί ένας κύκλος που θα τα περιέχει και θα χωρίζει ταυτόχρονα τη σφαίρα σε δύο ίσα ημισφαίρια. Από τα υπόλοιπα τρία σημεία σίγουρα τα δύο τουλάχιστον, ίσως και τα τρία, θα βρίσκονται στο ένα από τα ημισφαίρια αυτά, άρα έχουμε αυτό που ζητήσαμε.