Καφές, τσάι, ρολόγια και γεννήσεις

Οι επιμελείς αναγνώστες και οι αναγνώστριες θα είχαν αρκετή δουλειά με τα κουίζ της προηγούμενης εβδομάδας, οπότε χωρίς άλλη καθυστέρηση δίνουμε τις απαντήσεις σε όλα:

Σύμφωνα με έρευνα, 70% του κοινού προτιμά να πίνει καφέ και 80% τσάι. Ποιο είναι το ανώτερο και ποιο το κατώτερο όριο αυτών που τους αρέσουν και ο καφές και το τσάι;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Το ότι προτιμά να πίνει καφέ κάποιος δεν σημαίνει ότι δεν πίνει και τσάι. Μόνο το 30% (= 100 – 70) απέχει εντελώς από τον καφέ. Αρα το ανώτερο όριο αυτών που πίνουν και τα δύο μπορεί να είναι το 70%. Για το κατώτερο όριο τα πράγματα είναι λίγο  πιο σύνθετα. Γνωρίζουμε ότι το 80% πίνει τσάι, αλλά έχοντας από το ποσοστό του καφέ βγάλει το συμπέρασμα ότι 30% σίγουρα δεν πίνει καφέ θα πρέπει να το αφαιρέσουμε από το 80% (80 – 30 = 50), άρα το 50% θα είναι το κατώτατο όριο αυτών που μπορεί να πίνουν και καφέ και τσάι.

l Στις τρεις και τέταρτο πόση θα είναι η γωνία μεταξύ των δύο δεικτών; Ο λεπτοδείκτης θα δείχνει εκείνη τη στιγμή ακριβώς τον αριθμό 3.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Ο ωροδείκτης είναι το θέμα πόσο θα έχει προχωρήσει. Οπως έχει αναλυθεί λεπτομερώς και παλαιότερα, η γωνία που διαγράφει ο ωροδείκτης στο διάστημα μιας ώρα είναι 360 μοίρες/12, δηλαδή 30 μοίρες. Επομένως τώρα που ακόμη βρισκόμαστε στο πρώτο τέταρτο της ώρας θα έχει διανυθεί γωνία 30 μοιρών/4, δηλαδή 7,5 μοίρες.

Πόσοι διαφορετικοί ακέραιοι περιέχουν τουλάχιστον ένα 3, όντας στο διάστημα μεταξύ 1 και 1.000;

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Ξεκινούμε από τις εκατοντάδες και πάμε προς τις μονάδες. Από το 300 έως το 399 έχουμε 100 αριθμούς. Από το 1 έως το 999 έχουμε άλλους 90 (εξαιρούμε τους 330-339), που έχουν το 3 στις δεκάδες τους (30-39, 130-139,… 930-939). Εως εδώ έχουμε 100 + 90 = 190. Στις μονάδες 100 αριθμοί έχουν το 3 (3, 13, 23,… 903) αλλά βγάζουμε τους 10 από το διάστημα 300-400 (303, 313,… 393) και τους 9 που έχουν το 3 στις δεκάδες (33, 133, 233, 433,… 933) γιατί λογαριάστηκαν πιο πριν, οπότε μένουν 81, άρα συνολικά 190 + 81 = 271.

l Σε μια χώρα όπου όλοι οι γονείς θέλουν να έχουν αγόρι στην οικογένεια κάθε οικογένεια κάνει παιδιά μέχρι να γεννηθεί αγόρι και μετά σταματούν. Μετά από κάποια χρόνια ποια θα είναι περίπου η αναλογία μεταξύ αγοριών και κοριτσιών; ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Θεωρώντας από τα δεδομένα ότι δεν υπάρχουν οικογένειες χωρίς παιδιά, ένα πρώτο συμπέρασμα είναι ότι όσα τα αγόρια τόσες και οι οικογένειες. Θεωρώντας πως η πιθανότητα για το κάθε μωρό που θα γεννηθεί είναι 50% αγόρι, 50% κορίτσι, όταν θα έχουν γεννήσει όλες οι μητέρες τα μισά περίπου θα είναι αγόρια, άρα οι μισές οικογένειες θα σταματήσουν να κάνουν παιδιά. Οι άλλες μισές, που έκαναν κορίτσια θα συνεχίσουν και οι μισές από αυτές, δηλαδή το (1/4) από τις αρχικές θα σταματήσουν. Αυτό θα συνεχίζεται οπότε αν Ν είναι όλες οι οικογένειες, τα κορίτσια θα φθάσουν να είναι [(1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + …) Χ Ν. Αλλά αυτή η σειρά έχει άθροισμα 1 (δείτε και την απάντηση στο κουίζ 1 της προηγούμενης εβδομάδας). Αρα θα έχουμε τελικά Ν κορίτσια, όσες οι οικογένειες, άρα όσα και τα αγόρια, άρα τελικά θα υπάρξει ισορροπία!

Πνευματική Γυμναστική

  1. Τρεις ήρωες από τα κόμικς, ο Μπι, η Τζι και ο Ρο, είναι φυλακισμένοι από τον κακό της ιστορίας και αυτός τους έχει κάνει μια ένεση με δηλητήριο που θα τους σκοτώσει σε 5 λεπτά. Για να διασκεδάσει όμως με την κατάσταση έχει βάλει μπροστά τους οκτώ κουτιά: Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ. Στο ένα υπάρχει μπουκαλάκι με αντίδοτο για το δηλητήριο, στα άλλα μόνο νερό. Τους δίνει ένα κλειδί που τα ανοίγει όλα αλλά λειτουργεί μόνο για μία φορά. Εξω από κάθε κουτί υπάρχει μια ταινία. Στο κουτί με το αντίδοτο η ταινία είναι εμποτισμένη με μια σταγόνα από αυτό, όχι αρκετή για να γλιτώσει κάποιον από τη δηλητηρίαση αλλά με το εξής χαρακτηριστικό: Αν ακουμπήσει τη γλώσσα του σε αυτή την ταινία, μετά από 3 λεπτά ακριβώς, αισθάνεται μια ελαφριά και ακίνδυνη παράλυση. Πώς μπορούν να σώσουν τους εαυτούς τους οι τρεις ήρωες;
  2. Εχουμε έναν τετραψήφιο ακέραιο θετικό αριθμό που είναι και τέλειο τετράγωνο. Αυξάνοντας κατά μία μονάδα όλα τα ψηφία του, παίρνουμε έναν άλλον επίσης τέλειο τετράγωνο. Να βρεθούν οι δύο αυτοί αριθμοί.

Οι λύσεις των προηγούμενων κουίζ

  1. Είστε δάσκαλος ή δασκάλα και θέλετε να πείσετε τους μαθητές σας ότι το άθροισμα της σειράς (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) +… θα είναι ίσο με τη μονάδα. Με ποιον τρόπο θα το κάνατε αυτό; Ενας αρκετά παραστατικός τρόπος θα ήταν ο εξής: Ζωγραφίζουμε στον πίνακα ένα τετράγωνο με πλευρά που θεωρούμε ότι έχει μήκος 1. Χωρίζουμε στη μέση το τετράγωνο, οπότε η καθεμία από τις δύο επιφάνειες που προκύπτουν είναι το μισό του αρχικού τετραγώνου. Τη μία από τις δύο αυτές επιφάνειες τη χωρίζουμε στη μέση. Και αυτή είναι το (1/4) της αρχικής. Συνεχίζουμε να χωρίζουμε την καθεμία από αυτές που προκύπτουν στη μέση και παρατηρούμε ότι βαθμιαία η επιφάνεια του αρχικού τετραγώνου γεμίζει με όλο και μικρότερα κομμάτια τείνοντας να καλύψουν όλη την αρχική επιφάνεια που ήταν ίση με 1, αλλά να μην υπάρχει και περίπτωση να βγουν έξω από αυτήν.
  2. Σε ένα πλανητικό σύστημα όπως το δικό μας υπάρχουν 2.021 πλανήτες. Στον καθένα από αυτούς ζει ένας αστρονόμος που παρακολουθεί με το τηλεσκόπιό του τον κοντινότερό του πλανήτη (οι αποστάσεις μεταξύ των πλανητών είναι όλες διαφορετικές μεταξύ τους). Να δειχθεί πως υπάρχει πλανήτης που κανείς δεν τον παρατηρεί. Σε αυτή την κατηγορία προβλημάτων απομονώνουμε ένα ζευγάρι. Ας πούμε τους Α και Β που είναι οι πιο κοντινοί μεταξύ τους. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη να υπάρχει κάποιος άλλος αστρονόμος σε άλλον πλανήτη Γ, που να έχει στρέψει το τηλεσκόπιό του στον έναν από τους δύο. Αυτό μπορεί να συμβαίνει διότι για τον Γ, ο Α ή ο Β να είναι ο κοντινότερός του πλανήτης αλλά ο Γ να μην είναι για τους Α ή Β. Τότε όμως δύο αστρονόμοι παρατηρούν τον ίδιο πλανήτη, άρα κάποιος μένει χωρίς παρατήρηση. Στην άλλη περίπτωση που κανείς άλλος δεν παρατηρεί τον Α ή τον Β τους βγάζουμε έξω από το «παιχνίδι» και πιάνουμε άλλο ζευγάρι. Αν αυτό συνεχιστεί επειδή έχουμε περιττό αριθμό πλανητών κάποιος θα μείνει στο τέλος μόνος του, οπότε αυτός δεν θα έχει κάποιο τηλεσκόπιο στραμμένο επάνω του.